Szöllőssy Dóra

A polinomiális káoszfejtés módszere az utóbbi években a sztochasztikus differenciálegyenletek analízisének és numerikus megoldásának egyik fontos eszközévé vált. A véletlen megoldások ortogonális sorfejtések segítségével történő reprezentációja lehetővé teszi a bizonytalansággal terhelt rendszerek vizsgálatát. Ugyanakkor két alapvető kérdés merül fel: egyrészt hogyan számíthatók ki a káoszfejtés együtthatóiból a fontos valószínűségi jellemzők, mint például a várható érték, a variancia, a kovariancia, valamint az eloszlásfüggvények és sűrűségfüggvények; másrészt hogyan konstruálható káoszfejtés olyan véletlen bemeneti paraméterekhez, mint például együtthatókhoz, meghajtóerőkhöz vagy kezdeti feltételekhez, amelyek előírt valószínűségi eloszlással rendelkeznek.
Ebben az előadásban mindkét problémát a Hermite-polinomokon alapuló Wiener–Itô-féle káoszfejtés keretrendszerében vizsgáljuk. Először explicit formulákat vezetünk le az eloszlásfüggvények és sűrűségfüggvények közvetlen meghatározására a káoszfejtési együtthatók alapján. Mivel ezek a reprezentációk szorosan kapcsolódnak a momentumokhoz és a momentummeghatározottság kérdéséhez, általános formulát adunk tetszőleges rendű momentumok kiszámítására is a káoszfejtési együtthatókból. Ezt követően egy algoritmust javaslunk ismert valószínűségi eloszlású véletlen változók Wiener–Itô-féle káoszfejtésének meghatározására, általánosított Legendre-polinomfejtés alkalmazásával.
Az elméleti eredményeket több egyszerű, ugyanakkor szemléletes példán illusztráljuk, bemutatva a javasolt módszerek gyakorlati alkalmazhatóságát.

The polynomial chaos expansion method has become an important tool for the analysis and numerical solution of stochastic differential equations. By representing random solutions through orthogonal series expansions, this framework enables the study of systems influenced by uncertainty. However, two fundamental questions naturally arise: how to compute key probabilistic quantities, such as expectation, variance, covariance, cumulative distribution functions, and probability density functions, from the expansion coefficients; and, conversely, how to construct chaos expansions for random input parameters with prescribed probability distributions, including coefficients, driving forces, and initial conditions.
In this talk, we address both problems within the framework of the Wiener–Itô chaos expansion based on Hermite polynomials. First, we derive explicit formulas for calculating cumulative distribution functions and probability density functions directly from the chaos expansion coefficients. Since these representations rely heavily on moments and moment determinacy, we also establish a general formula for computing moments of arbitrary order from the expansion coefficients. Second, we propose an algorithm for constructing the Wiener–Itô chaos expansion of a random variable with a known probability distribution by employing a generalized Legendre polynomial expansion.
The theoretical results are illustrated through several simple but representative examples, demonstrating the practical applicability of the proposed methods.