Ágó Krisztina

Ebben a munkában olyan véges halmazrendszereket vizsgálunk, amelyekben bármely két különböző halmaz metszete nem üres, ugyanakkor a metszet mérete felülről korlátos. Első fő eredményünk egy felső korlát igazolása olyan uniform halmazrendszerekre, amelyekben bármely két halmaz metszetének mérete 1 és k közé esik. A Deza, Erdős és Frankl egy tételének egy speciális esetére egyszerűbb bizonyítást adunk, miközben javítjuk a korlát érvényességéhez szükséges feltételeket is. Második eredményként az Erdős–Ko–Rado-tétel egy általánosítását bizonyítjuk nem uniform halmazrendszerekre korlátos páronkénti metszetméretek mellett. Emellett bemutatunk a felső korlátot elérő konstrukciókat, valamint olyan példákat, amelyek megmutatják, hogy hasonló állítások nem maradnak érvényben, ha az alaphalmaz mérete túl kicsi.
A kutatási eredmények a Katona O.H. Gyula akadémikussal végzett munka nyomán születtek.

In this work, we study families of finite sets in which every two distinct members intersect, while the size of their intersection is bounded from above. Our first main result establishes an upper bound for uniform families whose pairwise intersections have sizes between 1 and k. We provide a simpler proof of a special case of a theorem of Deza, Erdős and Frankl, while also improving the conditions under which the bound holds. As a second result, we prove a generalization of the Erdős–Ko–Rado theorem for non-uniform families with bounded pairwise intersections. We also present constructions attaining the upper bound and examples showing that analogous statements fail when the size of the ground set is too small.